Una antigua pregunta que emana del programa de Erlangen de Klein puede ser fraseada en términos modernos de la siguiente forma: ¿Se puede caracterizar un objeto geométrico por su grupo de simetrías? La primera parte de esta charla consiste en una introducción al problema para una audiencia general con algunos ejemplos seleccionados de fuera del área de geometría algebraica. En la segunda parte de la charla entramos al caso de la geometría algebraica donde demostramos que, en general, la respuesta a la pregunta anterior es negativa. Sin embargo, después de restringir fuertemente la clase de variedades estudiadas logramos una respuesta afirmativa. En efecto, demostramos que las superficies tóricas affines están únicamente determinadas por su grupo de automorfismos regulares en la categoría de de las variedades normales. Esto requiere aplicar resultados recientes sobre el grupo de Cremona en dos variables.
